Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)曲線在點處的切線與直線垂直時，求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a的值；（2）函數(shù)有兩個零點，則方程恰有兩個不相等的正實根，即方程恰有兩個不相等的正實根. 研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域為， ，∴，解得.

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，則方程恰有兩個不相等的正實根，即方程恰有兩個不相等的正實根.設(shè)函數(shù)，∴ .

當(dāng)時， 恒成立，則函數(shù)在上是增函數(shù)，∴函數(shù)最多一個零點，不合題意，舍去；當(dāng)時，令，解得，令，解得，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.易知時， 恒成立，要使函數(shù)有2個正零點，則的最小值，即，即，∵，∴，解得，即實數(shù)的取值范圍為.