Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，x∈[2，4]．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明：
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增．

任取x1，x2∈[2，4]，且x1＜x2，

則 ，

∵2≤x1＜x2≤4，∴x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴由單調(diào)性的定義知，函數(shù)f（x）區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增

（2）解：由（1）知，函數(shù)f（x）區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，

∴[f（x）]min=f（2），[f（x）]max=f（4），

∵ ， ，

∴ ，

【解析】（1）任取x1 ， x2∈[2，4]，且x1＜x2 ， 利用作差可比較f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷；（2）由（1）可知函數(shù)f（x）區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，由單調(diào)性即可求得函數(shù)的最值；
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．