Question

【題目】已知f（x）=log2（2x+a）的定義域為（0，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=log2（2x+1），且關于x的方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x+a＞0得2x＞﹣a，即x＞log2（﹣a），即函數的定義域為（log2（﹣a），+∞）．

∵函數的定義域為（0，+∞），

∴log2（﹣a）=0，則﹣a=1，則a=﹣1

（2）解：當a=﹣1時，f（x）=log2（2x﹣1），

由f（x）=m+g（x）得m=f（x）﹣g（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）

=log2（ ）=log2（1﹣ ），

令h（x）=log2（1﹣ ），

則h（x）在[1，2]上為增函數，

當x=1時，h（x）取得最小值h（1）=log2 ，

當x=2時，h（x）取得最大值h（2）=log2 ，

則h（x）∈[log2 ，log2 ]，

則要使方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，

則m∈[log2 ，log2 ]

【解析】（1）求出函數的定義域，根據條件建立方程進行求解即可，（2）利用參數分離法進行分類，然后利用復合函數的單調性之間的關系，構造函數求出函數的值域即可得到結論．
【考點精析】利用復合函數單調性的判斷方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．