Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，若對任意的恒成立，求實數的值；

（Ⅲ）求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時，單調遞增區間為；時，單調遞減區間為，

單調遞增區間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求得函數的導函數，然后根據和分類討論得出函數的單調區間；（Ⅱ）首先由（Ⅰ）中時的單調性可知，從而構造函數，然后通過求導得到函數的單調性，由此得到函數的最大值，再由對任意的恒成立，得，由此求得的值；（Ⅲ）首先根據（Ⅱ）將問題轉化為 ，進而將問題等價轉化為證．

試題解析：（Ⅰ）

時，，在上單調遞增；

時，時，，單調遞減，

時，，單調遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ），時，，

，

即，記 ．

，

在上增，在上遞減，

，

故，得．

（Ⅲ）由（Ⅱ），即 ，則時，．

要證原不等式成立，只需證：，即證：

下證①

①中令，各式相加，得

成立，

故原不等式成立.

方法二：時，，

時， ，

時， ．