Question

已知等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=3，前n項和為S_n，數列{b_n}為等比數列，b₁=1，且b₂S₂=4，b₃S₃=

15

4

．
（1）求a_n與b_n；
（2）記數列（

1

Sn

）的前n項和為T_n，且

lim

n→∞

T_n=T，求使b_n≥

T

3

成立的所有正整數n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出

b1q(2a1+d)=4 b1q2(3a1+3d)= 15 4

，把a₁=3，b₁=1解得

d=2 q= 1 2

，由此能求出求a_n與b_n．
（2）由（1）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)，由此利用裂項求和法能求出T_n=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

，利用極限知識求出T=

3

4

．由此能求出使b_n≥

T

3

成立的所有正整數n．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，
則由題意知

b1q(2a1+d)=4 b1q2(3a1+3d)= 15 4

，
把a₁=3，b₁=1代入上式，解得

d=2 q= 1 2

或

d=- 6 5 q= 5 6

，
∵等差數列{a_n}的各項均為正數，∴舍去d=-

6

5

，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，bn=1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1．
（2）由（1）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)，
則Tn=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

(

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

)=

3

4

，
∴T=

3

4

．
∴(

1

2

)n-1≥

1

4

，解得n≤3．
∴n=1，2，3．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的所有正整數的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．