Question

已知函數y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R，求：
（1）函數y的最大值；
（2）函數y的周期；
（3）函數y的單調增區間．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：（1）由條件利用本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，化簡函數的解析式為 y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，可得函數的最大值．
（2）根據正弦函數的周期性，求得函數的周期．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．

解答： 解：（1）函數y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
故函數的最大值為

1

2

+

5

4

=

7

4

．
（2）函數的周期為

2π

2

=π．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數的增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函數的單調性和周期性，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．