Question

【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為.

（1）求與的值；

（2）若斜率為的直線與拋物線交于、兩點，點為拋物線上一點，其橫坐標為1，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1），；（2）為定值，證明見解析

【解析】

（1）由拋物線的定義可得，解出將代入到拋物線方程即可得的值；（2）設直線的方程為，設，，聯立直線與拋物線運用韋達定理可得，根據斜率的定義化簡可得，進而可得結果.

（1）根據拋物線定義，點到焦點的距離等于它到準線的距離，

即，解得，

∴拋物線方程為，

點在拋物線上，得，∴。

（2）設直線的方程為，設，，

消元化簡得，

當即即時，直線與拋物線有兩交點，

∴。

點坐標為(1，1)，，，

∴，，

∴，

所以為定值。