Question

【題目】已知函數。

（1）若函數在處的切線垂直于軸，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，求函數的單調區間；

（3）若時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（Ⅲ）實數的取值范圍為．

【解析】

試題此題考查導數求解的綜合問題（Ⅰ）應用導數的幾何意義，首先求函數的導數，以及在切點處的導數，然后根據，求解參數；（Ⅱ）利用導數求函數的單調性的方法，第一步，根據上一問得到函數的導數，將導數化簡，第二步，求解，和的不等式，就是對應函數的單調區間，注意函數的定義域；（Ⅲ）處理此類不等式恒成立的問題，有兩種方程，第一種，反解參數，轉化為求函數的最小值，同樣是求函數的導數，求函數的單調區間，確定最小值；第二種，轉化為求，所以方法就是求函數的導數，討論函數的極值點的存在問題，確定單調性，求函數的最小值大于0.

試題解析：（Ⅰ）．

由題意得，即4分

（Ⅱ）時，，定義域為，

當或時，，

當時，，

故的單調遞增區間為，單調遞減區間為． 8分

（Ⅲ）解法一：由，得在時恒成立，

令，則-10

令，則

所以在為增函數，．

故，故在為增函數．，

所以，即實數的取值范圍為． 12分

解法二：

令，則，

（Ⅰ）當，即時，恒成立，

因為，所以在上單調遞增，

，即，所以；

（Ⅱ）當，即時，恒成立，

因為，所以在上單調遞增，

，即，所以；

（Ⅲ）當，即或時，

方程有兩個實數根

若，兩個根，

當時，，所以在上單調遞增，

則，即，所以；

若，的兩個根，

因為，且在是連續不斷的函數

所以總存在，使得，不滿足題意．

綜上，實數的取值范圍為．