Question

【題目】已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形.

（1）求證： ；

（2）；

（3）設(shè)為中點(diǎn)，在邊上找一點(diǎn)，使//平面并求.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）因?yàn)樵搸缀误w的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形, 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,證出后即可證明平面；〔2〕求出平面的一個(gè)法向量,利用與此法向量的夾角的余弦可求出直線與平面所成的角正弦值；（3）設(shè)為上一點(diǎn)，由平面，得知，利用向量數(shù)量積為求出的值，并求出的值.

試題解析：（1）證明：因?yàn)樵搸缀误w的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，

∴ BA，BC，BB1兩兩垂直。

以BA，BC，BB1分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）∵=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1與B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N；

（2）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

則

（3）∵M（2,0,0）.設(shè)P(0,0,a)為BC上一點(diǎn),則,

∵MP//平面CNB1,

∴

又,

∴當(dāng)PB=1時(shí)MP//平面CNB1 .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、證明線面垂直，求線面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.