Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．
（1）在PD上確定一點E，使得PB∥平面ACE，并求 的值；
（2）在（1）條件下，求平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BD交AC于O，

在△PBD中，過O作OE∥BP交PD于E，

∵OE平面ACE，PB平面ACE，

∴PB∥平面ACE，

∵AB=3，CD=2，∴

（2）解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（5，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，2），P（0，0，5），

=（5，﹣2，0）， =（0，﹣2，2），

設平面ACE的一個法向量為n=（x，y，z），

則 ，即 ，

令z=5，則x=2，y=5，∴n=（2，5，5）

取PA的中點為F，連接DF，∵AD=PD，∴DF⊥PA，

又AB⊥平面PAD，∴AB⊥DF，則DF⊥平面PAB，

即 =（ ，0， ）是平面PAB的一個法向量，

∴cos＜ ＞= = = ，

∴平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接BD交AC于O，過O作OE∥BP交PD于E，推導出PB∥平面ACE，由此能求出 的值．（2）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．