Question

【題目】設，數列{bn}滿足：bn+1＝2bn+2，且an+1﹣an＝bn；

（1）求證：數列{bn+2}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用已知求得：，整理bn+1＝2bn+2可得：bn+1+2＝2（bn+2），問題得證。

（2）利用（1）中結論求得：bn＝2n+1﹣2，即：an+1﹣an＝bn＝2n+1﹣2，將轉化為： ，再利用分組求和法求和即可

（1）證明：a1＝2，a2＝4，且an+1﹣an＝bn；∴b1＝a2﹣a1＝4﹣2＝2．

由bn+1＝2bn+2，變形為： ，

∴數列{bn+2}是等比數列，首項為4，公比為2．

（2）解：由（1）可得：bn+2＝4×2n﹣1，可得bn＝2n+1﹣2．

∴an+1﹣an＝bn＝2n+1﹣2．

∴

2n+2

＝2n+1﹣2n．