Question

自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響. 用x_n表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N^*，且x₁＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.
（Ⅰ）求x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x₁，a，b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）
（Ⅲ）設(shè)a＝2，b>0，c=1為保證對(duì)任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

（II）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.
（Ⅲ）為保證對(duì)任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.

本題是對(duì)數(shù)列、函數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)的綜合考查，在作數(shù)列方面的應(yīng)用題時(shí)，一定要認(rèn)真真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤．
（Ⅰ）利用題中的關(guān)系求出魚(yú)群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到xn+1與xn的關(guān)系式；
（Ⅱ）每年年初魚(yú)群的總量保持不變就是xn恒等于x1，轉(zhuǎn)化為xn+1-xn=0恒成立，再利用（Ⅰ）的結(jié)論，就可找到x1，a，b，c所滿(mǎn)足的條件；
（Ⅲ）先利用（Ⅰ）的結(jié)論找到關(guān)于xn和b的不等式，再利用x1∈（0，2），求出b的取值范圍以及b的最大允許值，最后在用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．
解（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

（II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則x_n恒等于x₁， n∈N*，從而由（*）式得

因?yàn)閤₁>0，所以a>b.
猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.
（Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*
由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知
0<x_n<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.
而x₁∈(0, 2)，所以
由此猜測(cè)b的最大允許值是1.
下證 當(dāng)x₁∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有x_n∈(0, 2), n∈N*
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k∈(0, 2),
則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.
又因?yàn)閤_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,
所以x_k+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).
綜上所述，為保證對(duì)任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.