Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，數列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足T_n=3b_n-2．
（1）求a_n和b_n；
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項之和A_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，及a_n＞0可求得S_n，再由a_n與S_n的關系可求a_n；由b_n=T_n-T_n-1可得{b_n}的遞推式，由遞推式可求得b_n；
（2）利用錯位相減法即可求得A_n．

解答： 解：（1）∵S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，及a_n＞0，得Sn=n2+n，
∴n=1時，a₁=S₁=2，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n．
∴a_n=2n（n≥1），
又T_n=3b_n-2，得b_n=3b_n-3b_n-1，
∴2b_n=3b_n-1（n≥2），
又b₁=3b₁-2，∴b₁=1，
bn=(

3

2

)n-1．
（2）∵A_n=2+4×

3

2

+6×(

3

2

)2+…+2n(

3

2

)n-1，
∴

3

2

An=2×

3

2

+4×(

3

2

)2+6×(

3

2

)3+…+2n(

3

2

)n，
兩式相減得，-

1

2

An=2+2×

3

2

+2×(

3

2

)2+…+2×(

3

2

)n-1-2n(

3

2

)n=

2[( 3 2 )n-1]

3 2 -1

-2n(

3

2

)n，
∴A_n=（4n-8）•(

3

2

)n+8．

點評：該題考查等比數列的通項公式、數列求和等知識，考查學生的運算求解能力，錯位相減法是高考考查的重點內容，要熟練掌握．