Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c均為實數，且a≠1，c≠0．
（1）求證：數列{a_n-1}為等比數列；
（2）設a=c=

1

2

，b_n=n（1-a_n），n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）若0＜a_n＜1對任意的n∈N^*成立，求證：0＜c≤1．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件得an+1-1=c(an-1)，n∈N*，由此能證明數列{a_n-1}是等比數列．
（2）由已知條件推導出bn=n(1-a)cn-1=n(

1

2

)n，由此利用錯位相減法能求出S_n=2-

2+n

2n

．
（3）由（1）知an=(a-1)cn-1+1，由已知條件得0＜（1-a）c^n-1＜1．由此推導出c＞0．再用反證法證明c≤1．從而得到0＜c≤1．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），
∴an+1-1=c(an-1)，n∈N*，
又a≠1，則a-1≠0，…（2分）
∴

an+1

an-1

=c≠0，n∈N*，
∴數列{a_n-1}是等比數列．…（3分）
（2）由（1）得an-1=(a-1)cn-1，
即an=(a-1)cn-1+1，n∈N^*．…（4分）
∴bn=n(1-a)cn-1=n(

1

2

)n，…（5分）
∴S_n=

1

2

+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，①

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1-（

1

2

）ⁿ-n（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）ⁿ=2-

2+n

2n

．…（10分）
（3）由（1）知an=(a-1)cn-1+1，
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，則0＜（1-a）c^n-1＜1．
又0＜（1-a）＜1，故有0＜c^n-1＜

1

1-a

，n∈N^*，
由0＜c^n-1，n∈N^*，得c＞0．…（11分）
下證c≤1，用反證法
假設c＞1．由函數f（x）=c^x的圖象值，當n趨于無窮大時，c^n-1趨于無窮大，
cn-1＜

1

1-a

，n∈N^*不能對恒成立，導致矛盾．
所以c≤1．
綜上所述0＜c≤1．…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要注意錯位相減法的合理運用．