Question

設數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）已知{b_n}是等差數列，T_n為前n項和，且b₁=a₁，T₃=a₃．求{b_n}的通項公式，并證明：

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，可求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）求出數列的公差，可得{b_n}的通項公式，利用裂項法求和，即可得出結論．

解答： 解：（1）因為a_n+1=3a_n，a₁=1，
因此{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，…（2分）
所以a_n=3^n-1，S_n=

1

2

（3ⁿ-1）．…（6分）
（2）設等差數列{b_n}的公差為d，
依題意且b₁=a₁=1，T₃=a₃=9，
所以3+3d=9，故d=2．…（8分）
由此得，b_n=2n-1．…（10分）
所以，

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．
因此所證不等式成立．…（14分）

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項與求和，考查裂項法，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．