Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．

（1）證明：平面AEC⊥平面BED．
（2）求直線EC與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點，AE、AB、AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系

設正方形邊長為2，則E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）

=（0，2，2）， =（0，﹣2，2）， =（2，0，0）， =（﹣2，0，2），

從而有 =0， =0，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

因為AC∩AE=A，

所以BD⊥平面AEC，

因為BD平面BED，

所以平面BED⊥平面AEC

（2）解：設平面BED的法向量為 =（x，y，z），

則 ，故取 =（1，1，1）

而 =（﹣2，2，2），設直線EC與平面BED所成的角為θ，

則有sinθ=|cos＜ ， ＞|=

【解析】（1）以A為原點，AE、AB、AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，證明 =0， =0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可證明BD⊥平面AEC，從而平面AEC⊥平面BED．（2）求出平面BED的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線EC與平面BED所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．