Question

【題目】已知函數的圖象在處的切線經過點，且的一個極值點為-1.

（1）求的極值；

（2）已知方程在上恰有一個實數根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）首先求出函數的導函數，求出函數在處的切線方程，由點過切線，即可得到，再由函數的一個極值點為則，即可求出函數解析式，最后利用導數求出函數的極值；

（2）依題意可得函數的圖象與直線在上恰有一個交點，結合函數圖象，即可得解；

解：（1）∵，∴，

∴的圖象在處的切線方程為.

∵該切線經過點，∴，即①.

又∵的一個極值點為-1，∴②.

由①②可知，，故.

，令，得或.

當變化時，，的變化情況如下表：

		-1
	+	0	-	0	+
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

故，.

（2）∵方程在上恰有一個實數根，

∴函數的圖象與直線在上恰有一個交點.

∵，，

結合函數的圖象，∴.