Question

【題目】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)且）成立，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及對(duì)應(yīng)的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若數(shù)列為“數(shù)列”， ，設(shè)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意得，故，兩式相減可得，在此基礎(chǔ)上可得數(shù)列為等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式．（2）利用反證法可得不存在這樣的數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”．（3）由數(shù)列為“數(shù)列”，可得到對(duì)任意正整數(shù)恒成立，于是可得，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求得 ，故得，故，即，即結(jié)論成立．

試題解析：

（1）因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，

則

故，

兩式相減得： ，

又時(shí)， ，

所以，

故對(duì)任意的恒成立，即（常數(shù)），

故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.

（2）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則有，故有

兩式相減得： ，

故有，

同理由是“數(shù)列”可得，

所以對(duì)任意恒成立．

所以，

即，

又，

即，

兩者矛盾，故不存在這樣的數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”．

（3）因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，

所以，

所以，

故有， ，

又時(shí)， ，

故，滿足，

所以對(duì)任意正整數(shù)恒成立，數(shù)列的前幾項(xiàng)為： ．

故，

所以，

兩式相減得 ，

顯然，

故，

即.