Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為矩形．PA=AD，側面PAD垂直于底面ABCD，E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：平面PDC⊥平面AEC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（2）要證平面PDC⊥平面AEC，需要證明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC內的兩條相交直線．

解答： 解：（1）連接BD交AC于O點，連接EO，

∵O為BD中點，E為PD中點，
∴以EO∥PB，（2分）
又∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；（6分）
（2）∵側面PAD垂直于底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD．（8分）
∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE．（10分）
∵PA=AD，E為PD中點，
∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PDC．（12分）
又∵AE?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面AEC．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定，邏輯思維能力，是中檔題．