Question

已知點C（1，-2），P（-5，-2），動點滿足|

QC

|=3．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）求

PC

與

PQ

夾角的取值范圍；
（3）是否存在斜率為1的直線l，l被點Q的軌跡所截得的弦為AB，以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設點Q（x，y），由|

QC

|=3，得

(x-1)2+(y+2)2

=3，由此能求出動點Q的軌跡方程．
（2）過P作圓C的切線，切點E，F，由EC=3，PC=6，由此能求出

PC

與

PQ

夾角的取值范圍．
（3）設l：y=x+t，由

y=x+t (x-1)2+(y+2)2=9

，得2x²+（2+2t）x+t²+4t-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此利用韋達定理、向量垂直結合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設點Q（x，y），由|

QC

|=3，得

(x-1)2+(y+2)2

=3，
整理，得動點Q的軌跡方程為：
（x-1）²+（y+2）²=9．…（3分）
（2）過P作圓C的切線，切點E，F，
則EC=3，PC=6，
∴∠EPC=30°，
∴求

PC

與

PQ

夾角的取值范圍為[0，30°]．…（8分）
（3）設這樣的l存在，設l：y=x+t，
由

y=x+t (x-1)2+(y+2)2=9

，
得2x²+（2+2t）x+t²+4t-4=0，※…（9分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-（t+1），x₁x₂=

t2+4t-4

2

，（10分）
由題設，

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．（11分）
∵y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x₁x₂+t（x₁+x₂）+t²，（12分）
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+t（x₁+x₂）+t²=0，
整理，得t²+3t-4=0，（13分）
解得t=-4或t=1，
∴存在直線l：y=x-4或y=x+1．（14分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查向量的夾角的取值范圍的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意向量垂直的條件的合理運用，