Question

已知函數f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

），x∈R，
（1）求f（

5π

3

）的值；
（2）設α，β∈[0，

π

2

]，f（2α+

2π

3

）=

10

13

，f（2β+

5π

3

）=

6

5

，α，β∈[0，

π

2

]，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點：運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數的求值

分析：（1）將x=

5π

3

代入f（x）計算即可求出所求式子的值；
（2）由已知兩等式，根據f（x）解析式，求出sinα與cosβ的值，進而確定出cosα與sinβ的值，原式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

），
∴f（

5π

3

）=2sin（

1

2

×

5π

3

-

π

3

）=2sin（

5π

6

-

π

3

）=2sin

π

2

=2；
（2）∵f（2α+

2π

3

）=2sin[

1

2

（2α+

2π

3

）-

π

3

]=2sinα=

10

13

，
∴sinα=

5

13

，
∵f（2β+

5π

3

）=2sin[

1

2

（2β+

5π

3

）-

π

3

]=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

6

5

，
∴cosβ=

3

5

，
∵α，β∈[0，

π

2

]，
∴cosα=

12

13

，sinβ=

4

5

，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．

點評：此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．