Question

在平面直角坐標系xoy中，以原點O為圓心的圓O是曲線|x|+|y|=

6

的內切圓．
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O相切于第一象限，且與x、y軸分別交于D，E兩點，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設M，P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點A（m，0）和B（n，0），問這兩點的橫坐標之積mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出曲線是由(

6

，0)，(0，

6

)，(-

6

，0)，(0，-

6

)圍成的正方形，由此能求出圓O的方程．
（2）設直線l與圓O的切點為（x₀，y₀），則直線lx₀x+y₀y=3，令f(x0)=x02(3-x02)=-(x02)2+3x02，由已知條件推導出x0=

6

2

時，f（x₀）最大，由此能求出直線l的方程．
（3）設P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），直線PM的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，從而解得A(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，B(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，由此能求出mn=3．

解答： 解：（1）當x≥0，y≥0時，
曲線x+y=

6

是以點(

6

，0)，(0，

6

)為端點的線段，
根據對稱性可知，曲線是由(

6

，0)，(0，

6

)，(-

6

，0)，(0，-

6

)圍成的正方形，
∴圓O的半徑

3

，∴圓O的方程為x²+y²=3．
（2）設直線l與圓O的切點為（x₀，y₀），則x02+y02=3，(x0＞0，y0＞0)，
∴直線l：y-y₀=-

x0

y0

(x-x0)，即x₀x+y₀y=3，
∴D（

3

x0

，0），E（0，

3

y0

），
∴DE=

9 x02 + 9 y02

=

3 3

x02(3-x02)

，
令f(x0)=x02(3-x02)=-(x02)2+3x02，
∴x02=

3

2

，即x0=

6

2

時，f（x₀）最大，
此時DE最大，y0=

6

2

，∴直線l：x0+y0=

6

．
（3）設P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
則N（x₂，-y₂），x12+y12=3，x22+y22=3，
∴直線PM的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，解得A(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，同理B(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，
∴mn=

x1y2-x2y1

y2-y1

•

x1y2+x2y1

y2+y1

=

x12y22-x22y12

y22-y12

=

(3-y12)y22-(3-y22)y12

y22-y12

=3．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查兩點橫坐標之積是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．