Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=1，AC=1，BC=

2

，點(diǎn)E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面ABE；
（Ⅱ）若∠PDC的大小為60度，求二面角B-AE-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，由已知條件推導(dǎo)出AB⊥平面PAC，從而得到AB⊥PC，再由AE⊥PC，能證明PC⊥平面ABE．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的大小．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，∵PA⊥平面ABCD，
AB?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB=1，AC=1，BC=

2

，
∴AB⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴AB⊥PC，
∵點(diǎn)E在PC上，AE⊥PC，
∵AB∩AE=A，∴PC⊥平面ABE．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=1，AC=1，BC=

2

，∠PDC=60°，
∴PD=2，PC=

3

，PA=

2

，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，

2

），
C（0，1，0），D（-1，1，0），
∴

AB

=（1，0，0），

AD

=(-1，1，0)，

PC

=(0，1，-

2

)，
設(shè)

PE

=λ

PC

=(0，λ，-

2

λ)，則E（0，λ，

2

-

2

λ），
∴

AE

=(0，λ，

2

-

2

λ)，
∵AE⊥PC，∴

AE

•

PC

=λ-2+2λ=0，解得λ=

2

3

．∴

AE

=(0，

2

3

，

2

3

)，
設(shè)平面ABE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AB =x=0 n • AE = 2 3 y+ 2 3 z=0

，取z=

2

，得

n

=(0，-1，

2

)．
設(shè)平面AED的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AD =-x1+y1=0 m • AE = 2 3 y1+ 2 3 z1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，1，-

2

)，
設(shè)二面角B-AE-D的平面角為θ，
則cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

0-1-2

3 • 4

|=-

3

2

．
∴θ=150°．
∴二面角B-AE-D的大小為150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．