Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）＝f（2）＝3．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）在區(qū)間[﹣1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+2m+1的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)，求得，即可得到函數(shù)的解析式；

（2）由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，即可求解；

（3）把區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)是二次函數(shù)，且，可得函數(shù)對稱軸為，

又由最小值為1，可設(shè)，

又，即，解得，

所以函數(shù)的解析式為.

（2）由（1）函數(shù)的對稱軸為，

要使在區(qū)間上不單調(diào)，則滿足，解得，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）由在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，

可得在區(qū)間上恒成立，

化簡得在區(qū)間上恒成立，

設(shè)函數(shù)，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴在區(qū)間上的最小值為，

∴.