Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線,求實(shí)數(shù)的值;

(2)當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'（1）=g'（1），則2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣λ（x2﹣1），則原問題可以轉(zhuǎn)化為h（x）≤0對x∈[1，+∞）恒成立，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析可得答案．

(1)由題意得,

又,且函數(shù)與在處有相同的切線,

,則,即.

(2)設(shè),則對恒成立.

,且,即.

另一方面,當(dāng)時(shí),記,則.

當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù),

當(dāng)時(shí),,即在內(nèi)為減函數(shù),

當(dāng)時(shí),恒成立,符合題意.

當(dāng)時(shí),

①若,則對恒成立,

在內(nèi)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,不符合題意.

②若,令,則

在內(nèi)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,即

在內(nèi)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,不符合題意,

綜上所述.