Question

【題目】已知，函數，.

（1）若在上單調遞增，求正數的最大值；

（2）若函數在內恰有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出的單調遞增區間，令，得，可知區間，即可求出正數的最大值；（2）令，當時，，可將問題轉化為在的零點問題，分類討論即可求出答案.

解：（1）由，

得，.

因為在上單調遞增，

令，得時單調遞增，

所以解得，可得正數的最大值為.

（2），

設，當時，.它的圖形如圖所示.

又，則，，令，

則函數在內恰有一個零點，可知在內最多一個零點.

①當0為的零點時，顯然不成立；

②當為的零點時，由，得，把代入中，

得，解得，，不符合題意.

③當零點在區間時，若，得，此時零點為1，即，由的圖象可知不符合題意；

若，即，設的兩根分別為，，由，且拋物線的對稱軸為，則兩根同時為正，要使在內恰有一個零點，則一個根在內，另一個根在內，

所以解得.

綜上，的取值范圍為.