Question

【題目】在平面直角坐標系內，有一動點到直線的距離和到點的距離比值是

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知點(異于點)為曲線上一個動點，過點作直線的垂線交曲線于點，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）直接根據題意設點，列式，化簡，即可求出動點的軌跡的方程；

（2）先考慮特殊情況，當直線的斜率為時，可計算出，再考慮一般情況，

當直線的斜率不為時，設直線的方程為，與橢圓的方程聯立求出點的坐標得出的長，同理，將直線的方程與橢圓的方程聯立求出，繼而得到的表達式，最后根據函數知識即可求出的最小值．

（1）設動點的坐標為，根據題意得，再考慮一般情況，當

化簡得曲線的方程為：．

（2）當直線的斜率為時，為橢圓的短軸，則.

所以

當直線的斜率不為時，設直線的方程為，則直線的方程為

由得.

設所以，

故，得

設，由橢圓對稱性可知.

由解得

，所以

所以

設，則

，令，則

所以是一個增函數，所以

綜上，的最小值是.