Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程（為參數）.直線的參數方程（為參數）.

（Ⅰ）求曲線在直角坐標系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當曲線截直線所得線段的中點極坐標為時，求直線的傾斜角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用可將曲線的參數方程化為普通方程；

（Ⅱ）解法一：可直線曲線截直線所得線段的中點坐標為，設弦的端點分別為，，利用點差法可求出直線的斜率，即得的值；

解法二：寫出直線的參數方程為，將直線參數方程與曲線的普通方程聯立，由可求出角的值.

（Ⅰ）由曲線的參數方程（為參數），得：，

曲線的參數方程化為普通方程為：；

（Ⅱ）解法一：中點極坐標化成直角坐標為.

設直線與曲線相交于，兩點，則，.

則，②-①得：，

化簡得：，即，

又，直線的傾斜角為；

解法二：中點極坐標化成直角坐標為，

將分別代入，得.

，

，即.

，即.

又，直線的傾斜角為.