Question

【題目】直線上的動點到點的距離是它到點的距離的3倍.

（1）求點的坐標；

（2）設雙曲線的右焦點是，雙曲線經過動點，且，求雙曲線的方程；

（3）點關于直線的對稱點為，試問能否找到一條斜率為（）的直線與（2）中的雙曲線交于不同的兩點、，且滿足，若存在，求出斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由于點在直線上，所以設點的坐標為，然后由到點的距離是它到點的距離的3倍列方程求出，從而可得點的坐標；

（2）由可知，由此可，再將點坐標代入雙曲線方程中，解方程組可得；

（3）由可知線段的中垂線過點，再利用兩直線斜率的關系可得結果.

解：（1）因為點在直線上，所以設點的坐標為，

因為到點的距離是它到點的距離的3倍，

所以

所以，

化簡得，

解得

所以

所以點的坐為；

（2）因為，所以，

所以點的坐標為，即

因為點在雙曲線上，所以，

由，得，

所以雙曲線方程為

（3）因為點關于直線的對稱點為，

所以點的坐標為，

設直線為為，，

由得，，

因為直線與雙曲線交于不同的兩點，

所以，

化簡得，

由根與系數的關系得，

所以，所以線段的中點為，

因為，

所以，化簡得，

所以，得，

解得或，

又因為，所以解得的取值范圍為