Question

已知函數g（x）=-x²-3，f（x）為二次函數．當x∈[-1，2]時，f（x）的最小值為1，且f（x）+g（x）是奇函數，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：待定系數法設出f（x）的解析式，利用奇函數的定義F（x）=-F（-x）建立方程組解得a，c；
由于f（x）的對稱軸含字母，所以通過分類研究f（x）在閉區間上的最值問題從而求得b．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c，所以令F（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3
因為F（x）為奇函數，所以F（x）=-F（-x），即（a-1）x²+bx+（c-3）=-（a-1）x²+bx-（c-3）
所以：

a-1=-(a-1) c-3=-(c-3)

所以：a=1且c=3，此時f（x）=x²+bx+3．
①當-

b

2

＜-1      即b＞2時，函數f（x）在[-1，2]上為增函數，故f（-1）=1得b=3
②當-

b

2

＞2       即b＜-4時，函數f（x）在[-1，2]上為減函數，故f（2）=1得b=-3但與b＜-4矛盾，舍去
③當-1≤-

b

2

≤ 2   即-4≤b≤2時，函數f（x）在[-1，-

b

2

]上為減函數，在[-

b

2

.2]上為增函數，所以f(-

b

2

)=1，解得：b=-2

2

或b=2

2

（舍）
綜上所述，b=3或b=-2

2

，所以f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2

2

x+3．

點評：本題考查待定系數法設出f（x）的解析式，用到了奇函數的定義F（x）=-F（-x），
分類研究f（x）在閉區間上的最值（由于f（x）的對稱軸含字母）