Question

已知函數g（x）=asinx+bcosx+c
（1）當b=0時，求g（x）的值域；
（2）當a=1，c=0時，函數g（x）的圖象關于x=

5π

3

對稱，求函數y=bsinx+acosx的對稱軸．
（3）若g（x）圖象上有一個最低點(

11π

6

，1)，如果圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

3

π

倍，然后向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，又知f（x）=3的所有正根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，且x_n-x_n-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）當b=0時，函數g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0兩種情況，分別求出函數g（x）的值域．
（2）當a=1，c=0時，由 g（x）=sinx+bcosx，且圖象關于x=

5π

3

對稱，求出b的值，可得函數 y=

2 3

3

cos（x+

π

6

），由 x+

π

6

=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函數的對稱軸方程．
（3）由g（x）圖象上有一個最低點 （

11π

6

，1），求得g（x）=（c-1）sin（x-

π

3

）+c．再由函數圖象的變換規律求得f（x）=（c-1）sin

π

3

x+c．由題意可得，直線y=3要么過f（x）的最高點或最低點，或過f（x）的對稱中心．分別求出c的值，再檢驗得出結論．

解答：解：（1）當b=0時，函數g（x）=asinx+c．
當a=0時，值域為：{c}．
當a≠0時，值域為：[c-|a|，c+|a|]．
（2）當a=1，c=0時，
∵g（x）=sinx+bcosx 且圖象關于x=

5π

3

對稱，
∴|

3

2

-

1

2

b|=

b2+1

，∴b=-

3

3

．
∴函數 y=bsinx+acosx 即：y=-

3

3

sinx+cosx=

2 3

3

 cos（x+

π

6

）．
 由 x+

π

6

=kπ，k∈z，可得函數的對稱軸為：x=kπ-

π

6

，k∈z．
（3）由g（x）=asinx+bcosx+c=

a2+b 2

 sin（x+∅）+c，其中，sin∅=

b

a2+b 2

，cos∅=

a

a2+b 2

．
由g（x）圖象上有一個最低點 （

11π

6

，1），所以

11π 6 +∅=2kπ- π 2 - a2+b 2 +c=1

，
∴

∅=2kπ- 7π 3  ， k∈z a2+b 2 = c-1

，
∴g（x）=（c-1）sin（x-

π

3

）+c．
又圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

3

π

倍，然后向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，則f（x）=（c-1）sin

π

3

x+c．
又∵f（x）=3的所有正根從小到大依次為 x₁、x₂、x₃…x_n、…，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），
所以y=f（x）與直線y=3的相鄰交點間的距離相等，根據三角函數的圖象與性質，直線y=3要么過f（x）的最高點或最低點，要么是y=

2c-1+1

2

，
即：2c-1=3或 1-c+c=3（矛盾）或

2c-1+1

2

=3，解得c=2 或 c=3．
當c=2時，函數的  f（x）=sin

π

3

x+2，T=6．
直線 y=3和 f（x）=sin

π

3

x+2相交，且  x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期為3（矛盾）．
當c=3時，函數  f（x）=2sin

π

3

x+3，T=6．
直線直線 y=3和 f（x）=2sin

π

3

x+3相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期為6（滿足條件）．
綜上：f（x）=2sin

π

3

x+2．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的對稱性，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．