Question

已知二次函數f（x）的圖象與坐標軸分別交于點（1，0）、（3，0）、（0，2）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）已知函數g（x）=log₂x的定義域為{x|f（x）＜2}，求函數g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出二次函數的解析式，把給出的三個點的坐標代入解析式列方程組求解；
（Ⅱ）解一元二次不等式求出函數g（x）的定義域，解對數不等式求函數g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）為二次函數，所以設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），又f（x）的圖象與坐標軸分別交于點（1，0）、（3，0）、（0，2）．
則

f(1)=0 f(3)=0 f(0)=2

⇒

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=2

，解得：a=

2

3

，b=-

8

3

，c=2，
故f(x)=

2

3

x2-

8

3

x+2；
（Ⅱ）由f(x)=

2

3

x2-

8

3

x+2＜2，得：x²-4x＜0，所以0＜x＜4，
所以{x|f（x）＜2}={x|0＜x＜4}，
所以g（x）的定義域為（0，4），
由0＜x＜4，得：log₂x＜log₂4=2，則g（x）∈（-∞，2），
所以函數g（x）的值域為（-∞，2）．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了函數的值域，訓練了求解函數解析式的常用方法，此題是中低檔題．