Question

（2013•成都模擬）若函數(shù)f（x）滿足：在定義域內(nèi)存在實數(shù)x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k為常數(shù)），則稱“f（x）關(guān)于k可線性分解”
（1）函數(shù)f（x）=2^x+x²是否關(guān)于1可線性分解？請說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）=lnx-ax+1（a＞0）關(guān)于a可線性分解，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)a取最小整數(shù)時，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=2^x+x²關(guān)于1可線性分解．理由如下：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2．
由零點存在定理可得：存在零點x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）．
（2）由題意，存在x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a），化為ln（x₀+a）=lnx₀+lna+1，即ln

x0+a

ax0

=1，
可得

x0+a

ax0

=e，利用x₀＞0及a＞0，即可解得a的取值范圍．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1.g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．分別解出g′（x）＜0與g′（x）＞0的x的取值范圍即可得出其單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2^x+x²關(guān)于1可線性分解．理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1，
化為h（x）=2（2^x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2，
∴存在零點x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）．
（2）由題意，存在x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx0-ax0+1+lna-a2+1，
化為ln（x₀+a）=lnx₀+lna+1，即ln

x0+a

ax0

=1，
∴

x0+a

ax0

=e，解得x0=

a

ae-1

＞0，
由a＞0，得a＞

1

e

．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1．
g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．

點評：正確理解“f（x）關(guān)于k可線性分解”的意義，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法、零點存在定理、對數(shù)的運算法則等是解題的關(guān)鍵．