Question

【題目】設直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，直線，，，（為坐標原點）的斜率分別為，，，，若.

（1）是否存在實數，滿足，并說明理由；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】

設直線方程為，，，，，聯立直線方程與拋物線方程可得，，由直線垂直的充分必要條件可得.聯立直線方程與橢圓方程可得，.

（1）由斜率公式計算可得.

（2）由弦長公式可得.且點到直線的距離，故，換元后結合均值不等式的結論可知面積的最大值為.

設直線方程為，，，，，

聯立和，

得，

則，，.

由，所以，得.

聯立和，得

，

所以，.

由，得.

（1）因為，，

所以.

（2）根據弦長公式，得：

.

根據點到直線的距離公式，得，

所以，

設，則，

所以當，即時，有最大值.