Question

【題目】已知動圓恒過點，且與直線相切.

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）設是軌跡上橫坐標為2的點，的平行線交軌跡于，兩點，交軌跡在處的切線于點，問：是否存在實常數使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結合已知點的坐標，即可求得方程；

（2）由拋物線方程求得點的坐標，設出直線的方程，利用導數求得點的坐標，聯立直線的方程和拋物線方程，結合韋達定理，求得，進而求得與之間的大小關系，即可求得參數.

（1）由題意得，點與點的距離始終等于點到直線的距離，

由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，

則，.∴圓心的軌跡方程為.

（2）因為是軌跡上橫坐標為2的點，

由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.

因為，所以設直線的方程為，.

由，得，則在點處的切線斜率為2，

所以在點處的切線方程為.

由得所以，

所以.

由消去得，

由，得且.

設，，

則，.

因為點，，在直線上，

所以，，

所以

，

所以.

∴

故存在，使得.