Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面是邊長為的菱形，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，是等邊三角形，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，可知點為的中點，利用等腰三角形三線合一的性質可得出，利用菱形的性質可得出，可得出平面，結合面面垂直的判定定理可得出結論；

（2）計算出，并推導出平面，平面，進而可得出到平面的距離與點到平面的距離相等，即為.

（1）如圖，設與相交于點，連接，

因為四邊形為菱形，故，為的中點.

又，故．

又平面，平面，且，故平面.

又平面，所以平面平面；

（2）底面是邊長為的菱形，又，所以，.

又是等邊三角形，可得，，．

由（1）可知，，平面，

平面，則，所以．

設交于點，

又，，所以平行四邊形為菱形，故．

又，，，所以平面．

平面，所以.

，所以平面，故為在平面內的射影，故點到平面的距離為．

又，平面，所以平面．

故點到平面的距離與點到平面的距離相等，

所以點到平面的距離為.