Question

【題目】已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.

（1）求函數f(x)在區間[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；

（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函數h(x)圖像上任意兩點，且滿足＞1，求實數a的取值范圍；

（3）若x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.

【解析】

（1）是研究在動區間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數的極值點與所研究的區間的大小關系來進行求解．

（2）注意到函數h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，從而構造函數F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上單調遞增，進而等價于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立來加以研究．

（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉化為求對應函數的最值，得到a≤，再利用導數求函數M(x)＝的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數單調性，進而確定函數最值．

（1） f′(x)＝1－，x＞0，

令f′(x)＝0，則x＝1.

當t≥1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，f(x)的最小值為f(t)＝t－lnt；

當0＜t＜1時，f(x)在區間(t,1)上為減函數，在區間(1，t＋1)上為增函數，f(x)的最小值為f(1)＝1.

綜上，m(t)＝

（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，

不妨取0＜x1＜x2，則x1－x2＜0，

則由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，

變形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．

令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，

則F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，

故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，

所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．

因為2x＋≥2，當且僅當x＝時取“＝”，

所以a≤2－2.

（3）因為f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.

因為x∈(0,1]，則x＋1∈(1,2]，所以x∈(0,1]，使得a≤成立．

令M(x)＝，則M′(x)＝.

令y＝2x2＋3x－lnx－1，則由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)．

當x∈時，y′＜0，則函數y＝2x2＋3x－lnx－1在上單調遞減；

當x∈時，y′＞0，則函數y＝2x2＋3x－lnx－1在上單調遞增．

所以y≥ln4－＞0，

所以M′(x)＞0在x∈(0,1]時恒成立，

所以M(x)在(0,1]上單調遞增．

所以只需a≤M(1)，即a≤1.

所以實數a的最大值為1.