Question

【題目】隨著現代社會的發展，我國對于環境保護越來越重視，企業的環保意識也越來越強.現某大型企業為此建立了5套環境監測系統，并制定如下方案：每年企業的環境監測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環境監測系統，若至少有2套系統監測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統；若有且只有1套系統監測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統進行1小時的監測，且后啟動的這2套監測系統中只要有1套系統監測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統.設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統監測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統監測出排放超標情況相互獨立.

（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；

（2）若每套環境監測系統運行成本為300元/小時（不啟動則不產生運行費用），除運行費用外，所有的環境監測系統每年的維修和保養費用需要100萬元.現以此方案實施，問該企業的環境監測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不會超過預算，理由見解析

【解析】

（1）求出某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為，可得某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；

（2）設某個時間段環境監測系統的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對其求導，研究函數的單調性，可得期望的最大值，從而得出結論.

（1）某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為,

某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為

某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率為.

（2）設某個時間段環境監測系統的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.

，

令,則

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減,

的最大值為,

實施此方案，最高費用為（萬元），

，故不會超過預算.