Question

【題目】已知函數，.

(1)求函數的單調區間與極值.

(2)當時，是否存在，使得成立？若存在，求實數的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域，接著求導，對參數分類討論。

（2）假設存在，使得成立，則對，滿足，將問題轉化為求與。

解：（1），

當時，恒成立，即函數的單調增區間為，無單調減區間，所以不存在極值．

當時，令，得,當時，，當時，，

故函數的單調增區間為，單調減區間為，此時函數在處取得極大值，極大值為，無極小值．

綜上，當時，函數的單調增區間為，無單調減區間，不存在極值．當時，函數的單調增區間為，單調減區間為，極大值為，無極小值

（2）當時，假設存在，使得成立，則對，滿足

由可得，

.

令，則，所以在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，

所以

由（1）可知，①當時，即時，函數在上單調遞減，所以的最小值是．

②當，即時，函數在上單調遞增，

所以的最小值是．

③當時，即時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.又，所以當時，在上的最小值是.當時，在上的最小值是

所以當時，在上的最小值是，故，

解得,所以．

當時，函數在上的最小值是，故，

解得，所以.故實數的取值范圍是