Question

（2013•瀘州一模）定義在R上的奇函數f（x）滿足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]時，f（x）=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求函數f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）當λ為何值時，關于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解？

Answer 1

分析：（1）當-1＜x＜0時，0＜-x＜1，給出f（-x）的解析式后，根據奇函數的性質，可得函數f（x）在（-1，0）上的解析式，結合奇函數性質及f（1-x）=f（x），進而得到函數f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）根據條件把問題轉化為求函數f（x）在[-2，2]上的值域問題即可．

解答：解：（1）當-1＜x＜0時，0＜-x＜1，
∵x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

又f（x）為奇函數，
∴當-1＜x＜0時，f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

當x=0時，由f（-0）=-f（0）可得f（0）=0
又∵f（1-x）=f（x），
故f（1）=f（0）=0
f（-1）=-f（1）=0
綜上，f（x）=

2x 4x+1 ，(0＜x＜1) 0，(x∈{-1，0，1}) - 2x 4x+1 ，(-1＜x＜0)

（2）∵f（1-x）=f（x），f（-x）=-f（x），
∴f（1+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），
∴f（x）周期為2的周期函數，
∵方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解的λ的范圍
即為求函數f（x）在[-2，2]上的值域 
即為求函數f（x）在[-1，1]上的值域
當x∈（0，1）時f（x）=

2x

4x+1

，
故f′（x）=

(1-4x)•2x

(4x+1)2

ln2＜0
即f（x）在（0，1）上為減函數，
∴x∈（0，1）時，

2

5

=f（2）＜f（x）＜f（0）＜

1

2

，
∴當x∈（0，1）時，f（x）∈（

1

2

，

2

5

）
當x∈（-1，0）時，f（x）∈（-

2

5

，-

1

2

）  
當x∈{-1，0，1}時，f（x）=0               
∴f（x）的值域為（-

2

5

，-

1

2

）∪{0}∪（

1

2

，

2

5

）   
∴λ（-

2

5

，-

1

2

）∪{0}∪（

1

2

，

2

5

）時方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解

點評：本題主要考查如何利用求對稱區間上的解析式，特別注意端點問題，還考查了用定義證明單調性求分段函數值域問題．