Question

【題目】已知橢圓： （）的離心率為，直線： 與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的左頂點作直線，與圓相交于兩點， ，若是鈍角三角形，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2），且

【解析】試題分析:(1)先由離心率為，求出的關系,再利用直線 與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切,求出即可求出橢圓的方程;(2)先設出的坐標,利用是鈍角三角形，可得，即,聯立方程寫出韋達定理代入,從而求得斜率的取值范圍．

試題解析:（1）由，得，

由直線 與圓相切，得所以， ，

所以橢圓的方程是．

（2）由（1），得圓的方程是， ，直線的方程是

設， ，由得

則， ．

由，得．①

因為是鈍角三角形，所以，即

所以．②

由， 與軸不共線，知．③

由①、②、③，得直線的斜率的取值范圍是，且．