Question

【題目】已知函數，在點處的切線方程為．

（1）求的解析式；

（2）求的單調區間；

（3）若函數在定義域內恒有成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;（2） 的單調增區間為，單調減區間為;

（3）．

【解析】【試題分析】（1）借助導數的幾何意義建立方程組求解；（2）先求導再借助導數與函數單調性之間的關系求解；（3）先將不等式進行等價轉化，再分離參數借助導數知識求其最值，即可得到參數的范圍。

（1）由題意，得，

則，∵在點處的切線方程為，

∴切線斜率為，則，得，

將代入方程，得，解得，

∴，將代入得，

故．

（2）依題意知函數的定義域是，且，

令，得，令，得，

故的單調增區間為，單調減區間為．

（3）由，得，

∴在定義域內恒成立．

設，則，

令，得．

令，得，令，得，

故在定義域內有極小值，此極小值又為最小值．

∴的最小值為，

所以，即的取值范圍為．