Question

如圖，在四棱錐ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45^o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

（Ⅰ）求PD與BC所成角的大小；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

（1）60^o
（2）根據題意，由于BC⊥AC，且有PA⊥BC，則可以根據線面垂直的判定定理來得到結論。
（3）60^o  

解析試題分析：（Ⅰ）取的AB中點H，連接DH，易證BH//CD，且BD="CD" 1分
所以四邊形BHDC為平行四邊形，所以BC//DH
所以∠PDH為PD與BC所成角2分
因為四邊形，ABCD為直角梯形，且∠ABC=45^o， 所以DA⊥AB
又因為AB=2DC=2，所以AD=1， 因為Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都為等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60^o 4分
（Ⅰ）連接CH，則四邊形ADCH為矩形， ∴AH=DC  又AB=2，∴BH=1
在Rt△BHC中，∠ABC=45^o ， ∴CH=BH=1，CB= ∴AD=CH=1，AC=
∴AC²+BC²=AB²   ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  8分
（Ⅲ）如圖，分別以AD、AB、AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則由題設可知：

A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，
∴=(0，0，1)，=(1，1，-1) 9分
設m=(a，b，c)為平面PAC的一個法向量， 則，即
設，則，∴m=(1，-1，0)  10分
同理設n=(x，y，z) 為平面PCD的一個法向量，求得n=(1，1，1) 11分
∴ 12分
所以二面角A-PC-D為60^o  13分
考點：空間角和距離的求解
點評：主要是考查了空間中線面角和二面角的平面角的求解，以及線面垂直的判定，屬于基礎題。