Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+mx（m為常數）．
（1）討論函數f（x）的單調區間；
（2）當 時，設 的兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）恰為h（x）=2lnx﹣ax﹣x2的零點，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x＞0，

當m＜0時，由1+mx＞0，解得 ，

即當 時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

由1+mx＜0解得 ，即當 時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當m=0時， ，即f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當m＞0時，1+mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

所以當m＜0時，f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 ；

當m≥0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）

（2）解：由 得 ，

由已知x2+mx+1=0有兩個互異實根x1，x2，

由根與系數的關系得x1+x2=﹣m，x1x2=1，

因為x1，x2（x1＜x2）是h（x）的兩個零點，

故 ① ②

由②﹣①得： ，

解得 ，

因為 ，得 ，

將 代入得：

= = ，

所以 ，

設 ，因為 ，

所以 ，所以 ，

所以 ，所以t≥2．

構造 ，得 ，

則 在[2，+∞）上是增函數，

所以 ，即 的最小值為

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，得到x1+x2=﹣m，x1x2=1，求出 的解析式，根據函數的單調性求出其最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．