【題目】已知函數
，其中t∈R.
(1)當t＝1時，求曲線
在點
處的切線方程；
(2)當t≠0時，求
的單調區間．
【答案】(1) y＝－6x.
(2)見解析.
【解析】分析：（1）求出導數，得到切線斜率
，然后可得切線方程
；
（2）求出導函數
，由
得
或
，按
和
的大小分類討論后可得的正負及單調區間．
詳解： (1)當t＝1時，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.
所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝－6x.
(2) f′(x)＝12x2＋6tx－6t2. 令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝
.
因為t≠0，所以分兩種情況討論：
①若t<0，則<－t.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x |
|
| (－t，＋∞) |
f′(x) | ＋ | － | ＋ |
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
所以f(x)的單調遞增區間是
，(－t，＋∞)；f(x)的單調遞減區間是
.
②若t>0，則－t<.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x | (－∞，－t) |
|
|
f′(x) | ＋ | － | ＋ |
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，－t)，
；f(x)的單調遞減區間是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 數列{bn}，{cn}滿足 （n+1）bn=an+1﹣ 
，（n+2）cn= 
﹣ ，其中n∈N*．
（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；
（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn ， 求證：數列{an}是等差數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 將1至
這個自然數隨機填入n×n方格的個方格中，每個方格恰填一個數（
）．對于同行或同列的每一對數，都計算較大數與較小數的比值，在這
個比值中的最小值，稱為這一填數法的“特征值”．
（1）若
，請寫出一種填數法，并計算此填數法的“特征值”；
（2）當
時，請寫出一種填數法，使得此填數法的“特征值”為
；
（3）求證：對任意一個填數法，其“特征值”不大于．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
的導函數為
.若不等式
對任意實數x恒成立，則稱函數是“超導函數”.
（1）請舉一個“超導函數” 的例子，并加以證明；
（2）若函數
與
都是“超導函數”，且其中一個在R上單調遞增，另一個在R上單調遞減，求證：函數
是“超導函數”；
（3）若函數
是“超導函數”且方程
無實根，
（e為自然對數的底數），判斷方程
的實數根的個數并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數 
．
（1）求f（x）的極值；
（2）當0＜x＜e時，求證：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）設函數f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1 ， f（x1）、B（x2 ， f（x2）），中點橫坐標為x0 ， 證明：f'（x0）＜0．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】傳承傳統文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏.將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了
名選手進行調查，下面是根據調查結果繪制的選手等級人數的條形圖.
（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否有
的把握認為選手成績“優秀”與文化程度有關？
優秀 | 合格 | 合計 | |
大學組 | |||
中學組 | |||
合計 |
注：
，其中
.
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）若參賽選手共
萬人，用頻率估計概率，試估計其中優秀等級的選手人數；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個口袋里裝有
個白球和
個紅球,從口袋中任取
個球.
（1）共有多少種不同的取法?
（2）其中恰有一個紅球,共有多少種不同的取法?
（3）其中不含紅球,共有多少種不同的取法?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=lnx+mx（m為常數）．
（1）討論函數f（x）的單調區間；
（2）當 
時，設 
的兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）恰為h（x）=2lnx﹣ax﹣x2的零點，求 
的最小值．
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