Question

【題目】已知、為橢圓（）和雙曲線的公共頂點，、分為雙曲線和橢圓上不同于、的動點，且滿足，設直線、、、的斜率分別為、、、.

（1）求證：點、、三點共線；

（2）求的值；

（3）若、分別為橢圓和雙曲線的右焦點，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，得到，由此可證明出點、、三點共線；

（2）設點、，求出，，由，可得出，從而可求出的值；

（3）由，可得，再由，得出，，由此能求出的值.

（1）、為橢圓和雙曲線的公共頂點，

、分別為雙曲線和橢圓上不同于、的動點，

且，即，即，

因此，點、、三點共線；

（2）設點、，

則，

同理可得，

，，則，因此，；

（3），，

，，又，解得，

又，，則，則.

，，

同理可得，

且，，，

同理可得，

因此，.