Question

【題目】已知橢圓上兩個不同的點、關于直線對稱．

（1）若已知，為橢圓上動點，證明：；

（2）求實數的取值范圍；

（3）求面積的最大值（為坐標原點）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設點，則有，代入橢圓的方程得出，然后利用兩點間的距離公式和二次函數的基本性質可求出的最大值，從而證明；

（2）由、關于直線對稱，可得出直線與直線，從而可得出直線的斜率為，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯立，得出，并列出韋達定理，求出線段的中點，再由點在直線上列出不等式，結合可求出的取值范圍；

（3）令，可得出直線的方程為，利用韋達定理結合弦長公式計算出，利用點到直線的距離公式計算出的高的表達式，然后利用三角形的面積公式得出面積的表達式，利用基本不等式可求出面積的最大值.

（1）設，則，得，于是

因，所以當時，，即；

（2）由題意知，可設直線的方程為．

由消去，得．

因為直線與橢圓有兩個不同的交點，

所以，，即，①

由韋達定理得，，

，所以，線段的中點.

將中點代入直線方程，解得②，

將②代入①得，化簡得.

解得或，因此，實數的取值范圍是；

（3）令，即，且.

則，，

則，

且到直線的距離為，

設的面積為，所以，

當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為．