Question

【題目】如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F為CD的中點．

（1）求證：AF∥平面BCE；

（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）取CE的中點G，由三角形的中位線性質證明四邊形GFAB為平行四邊形，得到AF∥BG，從而證明AF∥平面BCE．

（2）通過證明AF⊥CD，DE⊥AF，從而證明AF⊥平面CDE，再利用BG∥AF證明BG⊥平面CDE，進而證明平面BCE⊥平面CDE．

（3）在平面CDE內，過F作FH⊥CE于H，由平面BCE⊥平面CDE，得 FH⊥平面BCE，故∠FBH為BF和平面BCE所成的角，解Rt△FHB求出∠FBH的正弦值．

（1）證明：取CE的中點G，連FG、BG．

∵F為CD的中點，∴GF∥DE且．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB．

又，∴GF＝AB．

∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F為CD的中點，∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．

∵BG平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE．

（3）解：在平面CDE內，過F作FH⊥CE于H，連BH．

∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．

∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角．

設AD＝DE＝2AB＝2a，則，，

Rt△FHB中，．

∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為．