Question

【題目】函數f（x）= 是定義在（﹣∞，+∞）上的奇函數，且f（ ）= ．
（1）求實數a、b，并確定函數f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（﹣1，1）上的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

即 =﹣ ，﹣ax+b=﹣ax﹣b，

∴b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．

∴f（x）= ，

∵f（ ）= ，

∴ 解得a=1，

∴f（x）=

（2）解：f（x）在（﹣1，1）上是增函數．

證明如下：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= =

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴﹣1＜x1x2＜1，x1﹣x20， , ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數

【解析】（1）根據函數是奇函數，可得f（0）=0，再根據f（ ）= ，列出關于a，b的方程組，求出即可得解析式；（2）用函數單調性定義證明，任取x1 ， x2∈（﹣1，1），且x1＜x2 ， f（x1）﹣f（x2）作差與0比較，從而證明函數的單調性．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關知識才是答題的關鍵．