Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，當時， 的上單調遞增．（2）或．

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，并因式分解，安裝導函數是否變號進行分類討論：當時，導函數不變號，在定義區間上單調遞增；當時，導函數由負變正，單調性先減后增（2）構造差函數，結合（1）討論單調性，確定對應最小值，解出對應的取值范圍．

試題解析：解：（1），定義域為，

．

①當，即時，令， ∵，∴，

令， ∵， ∴；

②當，即時， 恒成立，

綜上，當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

當時， 的上單調遞增．

（2）由題意可知，在上存在一點，使得成立，

即在上存在一點，使得，

即函數在上的最小值．

由（1）知，①當，即時， 在上單調遞減，

∴， ∴，

∵， ∴；

②當，即時， 在上單調遞增， ∴， ∴；

③當，即時， ∴，

∵， ∴， ∴，

此時不存在使成立，

綜上可得的取值范圍是或．